Cách tìm kiếm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng rất hay Toán học lớp 10 với rất đầy đủ lý thuyết, cách thức giải và bài bác tập có giải thuật cho tiết sẽ giúp đỡ học sinh ráng được giải pháp tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng cực hay 


A. Cách thức giải

Cho điểm A và mặt đường thẳng (d): ax + by + c = 0 . Tìm kiếm điểm M đối xứng với điểm A qua đường thẳng (d):

+ bước 1: Lập phương trình đường thẳng AM:

*

⇒ Phương trình (AM) .

Bạn đang xem: Tìm tọa độ điểm đối xứng qua đường thẳng toán 10

+ cách 2: gọi H là hình chiếu của A bên trên d. Lúc ấy AM và d giao nhau tại H đề nghị tọa độ H là nghiệm hệ phương trình:

*

+ cách 3: vì M đối xứng cùng với A qua d đề nghị H là trung điểm của AM.

Áp dụng phương pháp trung điểm đoạn trực tiếp ta được:

*

*

B. Lấy một ví dụ minh họa

Ví dụ 1:Cho tam giác ABC gồm AB = 6; BC = 6√2 và góc B = 450.Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua BC. Tìm mệnh đề sai?

A.Tứ giác ACA’B là hình thoi

B.AA’ = 3

C.BA’ = 6

D.Tứ giác ACA’B là hình bình hành

Lời giải

+ Áp dụng định lí cosin vào tam giác ABC ta có:

AC2= AB2+ BC2– 2.AC.BC.Cos B

= 62+ (6√2)2- 2.6.6√2.cos450= 36

⇒ AC = 6 đề xuất AB = AC = 6 với AB2+ AC2= BC2

⇒ Tam giác ABC vuông cân tại A.

+ gọi H là chân mặt đường cao hạ từ điểm A lên BC.

AH là đường cao yêu cầu đồng thời là đường trung tuyến

⇒ H là trung điểm của BC: AH = bảo hành = CH = BC/2 = 3√2 ⇒ AA’= 6√2

+ bởi vì A’ đối xứng với điểm A qua BC buộc phải H là trung điểm của AA’ với AA’; BC vuông góc với nhau.

Tứ giác ACA’B có hai đường chéo cánh cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

⇒ ACA’B là hình bình hành.

Lại có hai đường chéo AA’; BC vuông góc với nhau buộc phải ACA’B là hình thoi.

⇒ B sai

Chọn B.

Ví dụ 2:Cho điểm M(1; 2) và đường thẳng d: 2x + y - 5 = 0. Toạ độ của điểm đối xứng với điểm M qua d là:

A.(;) B.(-

*
;
*
) C.(0;) D.(; - 5)

Lời giải

Ta thấy M ∉ d .

Gọi H( a; b) là hình chiếu của điểm M xuất phát thẳng dMH→( a - 1; b - 2) .

Ta có đường trực tiếp d: 2x + y - 5 = 0 nên gồm vtpt:n→(2;1)

Suy rau→( -1; 2) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

*

Do kia H(

*
;
*
) .

Gọi M’( x; y) đối xứng với M qua mặt đường thẳng d . Khi đó ta có: H là trung điểm của MM’

Ta có:

*

Vậy tọa độ điểm đối xứng cùng với M qua d là M"(;) .

Chọn A.

Ví dụ 3 :Cho mặt đường thẳng d: 2x - 3y + 3 = 0 và M( 8; 2) . Tọa độ của điểm M’ đối xứng cùng với M qua d là

A.( -4; 8) B.( -4; -8) C.( 4; 8) D.( 4; -8)

Lời giải

+ vị M’ đối xứng với M qua d bắt buộc MM’ vuông góc với d.

+ Đường thẳng MM’:

*

⇒ MM’: 3( x - 8) + 2( y - 2) = 0 hay 3x + 2y - 28 = 0

+ call H là giao điểm của MM’ cùng d. Khi đó tọa độ H là nghiệm hệ :

*
⇒ H( 6; 5)

+ bởi vì M’ đối xứng cùng với M qua d yêu cầu H là trung điểm của MM’. Tọa độ điểm M’ là:

*
⇒ M’( 4; 8)

Chọn C.

Ví dụ 4:Cho điểm A( 1; 2) và con đường thẳng (d): x + 2y - 3 = 0 .Tìm điểm đối xứng cùng với A qua đường thẳng d.

A.( 1; -2) B.(;) C.(

*
;
*
) D.Đáp án khác

Lời giải

+ gọi H là hình chiếu của A phát xuất thẳng (d) .

+ Lập phương trình đường thẳng AH:

( AH) :

*

⇒ Phương trình ( AH) : 2( x - 1) – 1.( y - 2) = 0 tuyệt 2x - y = 0

+ hai đường thẳng AH cùng d giảm nhau tại H phải tọa độ điểm H là nghiệm hệ phương trình:

*

+ gọi B đối xứng với A qua d. Lúc đó; H là trung điểm của AB.

⇒ Tọa độ điểm B là:

*
⇒ B(;)

Chọn B.

Ví dụ 5:Cho điểm A( 2; 0) và đường thẳng d: x + y - 2 = 0. Tìm điểm A’ đối xứng với điểm A qua con đường thẳng d.

A.( 2; -1) B.(2; 0) C.( 1; -2) D.(-2; -1)

Lời giải

Ta có: 2 + 0 - 2 = 0 đề xuất điểm A thuộc con đường thẳng d.

⇒ Điểm đối xứng với điểm A qua mặt đường thẳng d chính là điểm A.

Xem thêm: Chiều Cao Lâm Chấn Khang: Vợ Trẻ Mãi, Con Trai 13 Tuổi Đã Cao 1M76

Chọn B.

Ví dụ 6:Cho tam giác ABC tất cả A( 0; -2).Gọi I ( 2; 4) là trung điểm của AB và J( -4; 2) là trung điểm của AC. Call điểm A’ đối xứng điểm A qua BC. Viết phương trình đường thẳng AA’?

A.6x + 2y - 3 = 0 B.6x + 2y + 4 =0 C.2x - y + 1 = 0 D.Tất cả sai

Lời giải

+ vị I cùng J theo lần lượt là trung điểm của AB với AC nên IJ là con đường trung bình của tam giác ABC ⇒ IJ// BC ( 1) .

+ vị A’ đối xứng với A qua BC

⇒ AA’ vuông góc BC (2).

Từ(1) cùng ( 2) suy ra: AA’ vuông góc IJ

+ Lập phương trình AA’:

*

⇒ ( AA’): 6(x - 0) + 2( y + 2) = 0 giỏi 6x + 2y + 4 = 0.

Chọn B.

Ví dụ 7:Cho con đường thẳng ∆ :

*
và điểm M(1; 2). Tìm điểm đối xứng với M qua đường thẳng ∆ là:

A.(4; -2) B.M’(-;) C.M’(;) D.M’(

*
;
*
)

Lời giải

Gọi M’ đối xứng cùng với M qua ∆.

+ Đường thẳng MM’:

*

⇒ Phương trình mặt đường thẳng MM’:

3(x - 1) – 2(y - 2)= 0 hay 3x - 2y + 1 = 0.

+ Giao điểm H của mặt đường thẳng MM’ và ∆ là nghiệm hệ:

*

+ Điểm M đối xứng M’ qua ∆ cần H là trung điểm MM’. Suy ra tọa độ điểm M’:

*
⇒ M’(-;)

Chọn B.

Ví dụ 8:Cho con đường thẳng d: 2x - 3y + 3 = 0 và M( 8; 2) . Tọa độ của điểm M’ đối xứng cùng với M qua d là:

A.( -4; 8 ) B.(-4; -8 ) C.( 4; 8) D.(4; -8)

Lời giải

+Phương trình đường thẳng MM’:

*

⇒ ( MM’) : 3( x - 8) + 2( y - 2) = 0 tốt 3x + 2y - 28 = 0

+ điện thoại tư vấn H là hình chiếu của M lên d. Khi ấy MM’ cùng d giảm nhau tại H yêu cầu tọa độ H là nghiệm hệ :

*
⇒ H(6; 5)


+ lúc đó H là trung điểm của đoạn MM’. Áp dụng phương pháp trung điểm ta suy ra

*
. Vậy M’( 4; 8) .

Chọn C.

C. Bài xích tập vận dụng

Câu 1:Cho tam giác ABC bao gồm AB = 1; BC = 1√2 với góc B = 450.Gọi A’ là vấn đề đối xứng với A qua BC. Tìm mệnh đề sai?

A.Tứ giác ACA’B là vuông

B.AA’ = 2

C.BA’ = 1

D.Tứ giác ACA’B là hình bình hành

Câu 2:Cho đường thẳng ∆:

*
. Hoành độ điểm M’ đối xứng với M( 4; 5) qua ∆ gần nhất với số nào dưới đây ?

A.1,12 B.- 0, 91 C.1,31 D.- 0,92

Câu 3:Tìm điểm M’ đối xứng với M(4; 1) qua mặt đường thẳng d: x - 2y + 4 = 0 là:

A.(;

*
) B.(
*
;) C.(
*
;
*
) D.(;)

Câu 4:Cho tam giác ABC bao gồm A(1; 3).Gọi I(2; 1) là trung điểm của AB và J( -1; 0) là trung điểm của AC. Tìm điểm K đối xứng với điểm A qua IJ?

A.K(

*
; -) B.K(;) C.K( -; -) D.K(;
*
)

Câu 5:Cho điểm M(- 2; 1) và con đường thẳng ∆: 2x - y + 4 = 0.Gọi điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng ∆. Lúc đó điểm M’ nằm trên tuyến đường thẳng nào?

A.x + 2y - 3 = 0 B.2x + 4y - 3 = 0 C.x + 2y = 0 D.x + 2y - 6 = 0

Câu 6:Cho đường thẳng ∆:

*
và điểm M(2; -3); điểm A(-0,6; -1,8). Hotline M’ là vấn đề đối xứng cùng với M qua mặt đường thẳng ∆. Tính độ lâu năm AM’